Pieri and Cauchy Formulae for Ribbon Tableaux

In [LLT] Lascoux, Leclerc and Thibon introduced symmetric functions Gλ which are spin and weight generating functions for ribbon tableaux. This article is aimed at studying these functions in analogy with Schur functions. In particular we will describe: • a Pieri and dual-Pieri formula for ribbon functions, • a ribbon Murnaghan-Nakayama formula, • ribbon Cauchy and dual Cauchy identities, • and a C-algebra isomorphism ωn : Λ(q) → Λ(q) which sends each Gλ to Gλ′ . We will show that the ribbon Pieri and Murnaghan-Nakayama rules are formally equivalent in a purely combinatorial manner. We will also connect the ribbon Cauchy and Pieri formulae to the combinatorics of ribbon insertion as studied by Shimozono and White [SW2]. In particular we give complete combinatorial proofs for the domino n = 2 case. Résumé. Dans [LLT], Lascoux, Leclerc et Thibon ont introduit des fonctions symétriques Gλ qui sont les series formelles pour tableaux des rubans, selon la rotation et le poids. Cet article est visé à l’étude de ces fonctions dans l’analogie avec les fonctions de Schur. En particulier nous décrirons: • des formules ruban-Pieri et dual-ruban-Pieri, • une formule de ruban Murnagham-Nakayama, • les identités ruban-Cauchy et dual-ruban-Cauchy pour fonctions de ruban, • et un isomorphisme C-algèbre ωn : Λ(q) → Λ(q) qui envoie chaque Gλ à Gλ′ . Nous montrerons que les règles Pieri de et Murnagham-Nakayama sont formellement équivalents dans une manière purement combinatoire. Nous connecterons aussi les formules ruban-Cauchy et ruban-Pieri au combinatoire d’insertion des rubans, comme étudié par Shimozono et White [SW2]. En particulier, nous donnons les preuves combinatoires complétes pour le cas domino n = 2.